三角形 (第1/2页)

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是由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形叫做.常见的按边分有普通（三条边都不相等），等腰（腰与底不等的等腰、腰与底相等的等腰即等边）；按角分有直角、锐角、钝角等，其中锐角和钝角统称斜。【也有等腰直角】

中文名:

外文名:triangle

别称:三边形

表达式:图形

提出者:阿基米德

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基本定义

由同一平面内，且不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的封闭的内角和为180度的几何图形叫做，符号为△。是几何图案的基本图形。

分类

按角分

判定法一：

锐角：的三个内角都小于90度。

直角：的三个内角中一个角等于90度，可记作rt△。

钝角：的三个内角中有一个角大于90度。

判定法二：

锐角：的三个内角中最大角小于90度。

直角：的三个内角中最大角等于90度。

钝角：的三个内角中最大角大于90度，小于180度。其中锐角和钝角统称为斜。

判断方法

由余弦定理延伸而来

若一个的三边a，b，c（a≥b≥ca;0）满足：

1.b?+c?a;a?，则这个是锐角；

2.b?+c?=a?，则这个是直角；

3.b?+c?a;a?，则这个是钝角。

按边分

不等边；不等边，数学定义，指的是三条边都不相等的叫不等边。

等腰；等腰（ile），指两边相等的，相等的两个边称为这个的腰。等腰中，相等的两条边称为这个的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰的三线合一性质”）。等腰的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。等腰底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰是轴对称图形，（不是等边的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边有三条对称轴。等腰中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。等腰的腰与它的高的关系，直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

等边。等边（又称正），为三边相等的，其三个内角相等，均为60°，它是锐角的一种。等边也是最稳定的结构。等边是特殊的等腰，所以等边拥有等腰的一切性质。

周长公式

若一个的三边分别为a、b、c，则

。

面积公式

1

（面积=底x高÷2。其中，a是的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是的面积。这是面积法求线段长度的基础。

2

（其中，三个角为∠a，∠b，∠c，对边分别为a，b，c。参见三角函数）

3

(l为高所在边中位线）

4.1

（海伦公式），其中

4.2

秦九韶公式（与海伦公式等价）

5

（其中，r是外接圆半径）

6s=rp（其中，r是内切圆半径，p是半周长）

7在平面直角坐标系内，a（a，b），b（c，d），c（e，f）构成之面积为

。a，b，c三点最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响面积的大小。

8

（正面积公式，a是的边长）

9

(其中，r是外接圆半径；r是内切圆半径）

10

11

此公式与秦九韶公式，海伦公式是等价的

设三边为ac，bc，ab，

点d垂直于ab，为abc的高

利用三边关系求

再利用勾股定理

求得cd，再用

面积=底x高÷2

“四线”

中线

连接的一个顶点及其对边中点的线段叫做的中线（median）。

高

从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做的高（altitude）。

角平分线

一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做的角平分线（bile）。

中位线

的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半。切记，中位线没有逆定理。

性质

角

1在平面上的内角和等于180°（内角和定理）；

2在平面上的外角和等于360°(外角和定理)；

3在平面上的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4一个的三个内角中最少有两个锐角。

5在中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。